Muss ein Arbeitsvertrag schriftlich geschlossen werden?

Nein. Eine mündliche Vereinbarung ist ausreichend. Ein Arbeitsvertrag kann sogar durch bloßes Verhalten entstehen, also ohne eine ausdrückliche Abrede. Wenn Ihnen also ein Bekannter anbietet, in seiner Bar „Service zu machen“ und Sie einfach am Wochenende dort erscheinen und die Arbeit verrichten, zeigen Sie damit, dass Sie das Angebot angenommen haben. Ein Arbeitsvertrag wird damit geschlossen.
Nur befristete Arbeitsverträge müssen schriftlich geschlossen werden (§ 14 Abs. 4 Teilzeit- und Befristungsgesetz). Wird kein Schriftstück unterzeichnet, heißt es aber nicht, dass gar kein Vertrag besteht. Vielmehr ist nur die Befristung unwirksam. Der Vertrag gilt als für eine unbestimmte Zeit eingegangen.
Allerdings empfiehlt es sich, jeden Vertrag schriftlich zu fixieren. Ansonsten drohen bei einer Auseinandersetzung Nachweisschwierigkeiten. Es gelten dann die gesetzlichen Vorschriften. So wird die Vergütung beispielsweise nur nach Taxe berechnet. Hatte man am Anfang mündlich eine höhere Vergütung vereinbart, wird es ohne Beweise schwierig, diese auch zu bekommen.